Polymarket アービトラージ聖典：真のギャップは数学的インフラにある

原文タイトル：Polymarketでの取引に必要な数学（完全なロードマップ）

原文著者：Roan、暗号アナリスト

原文編纂：MrRyanChi

@insidersdotbotを設立する過程で、私は多くの高頻度取引チームやアービトラージチームと深い交流を持ちました。その中で、最大のニーズは、アービトラージ戦略をどう構築するかということです。

私たちのユーザー、友人、パートナーは、Polymarketでのアービトラージという複雑で多次元の取引ルートを探求しています。もしあなたがTwitterの活発なユーザーであれば、「私はXXアービトラージ戦略で予測市場からいくら稼いだ」というツイートを見たことがあると思います。

しかし、大部分の記事はアービトラージの基礎的な論理を過度に単純化し、「私もできる」、「Clawdbotを使えば解決できる」という取引モデルにしてしまい、どのように体系的に理解し、自分自身のアービトラージシステムを開発するかを詳しく説明していません。

もしあなたがPolymarket上のアービトラージツールがどのようにお金を稼ぐのかを理解したいのであれば、この記事は私が現在見ている中で最も完全な解釈です。

英語の原文には多くの技術的な部分があり、さらなる研究が必要なため、私は皆さんがこの一篇だけで全ての重要な内容を理解できるように再構築し、補足しました。

Polymarketのアービトラージは単純な数学の問題ではない

あなたはPolymarketで次の市場を見ています：

YES 価格 $0.62、NO 価格 $0.33。

あなたは考えます：0.62 + 0.33 = 0.95、1ドル未満でアービトラージの余地がある！YESとNOを同時に購入し、$0.95を使えば、結果に関わらず$1.00を取り戻し、純利益は$0.05です。

あなたは正しいです。

しかし問題は------あなたがまだこの加算問題を手動で計算している間に、量的システムは全く異なることをしています。

彼らは同時に17,218の条件をスキャンし、2^63の可能な結果の組み合わせを横断し、ミリ秒単位で全ての価格矛盾を見つけます。あなたが2つの注文を出し終える頃には、価格差はすでに消えてしまっています。システムはすでに数十の関連市場で同じ脆弱性を見つけ、注文簿の深さと手数料を考慮した最適なポジションサイズを計算し、すべての取引を並行して実行し、資金を次の機会に移しています。[1]

差は速度だけではありません。数学的インフラです。

第1章：なぜ「加算」だけでは不十分なのか------限界多面体問題

単一市場の誤謬

まずは簡単な例を見てみましょう。

• 市場A：「トランプはペンシルベニア州の選挙に勝つか？」

  • YES 価格 $0.48、NO 価格 $0.52。合計でちょうど$1.00。

  • 完璧に見え、アービトラージの余地はない、そう思いますよね？

間違いです。

市場を追加すると問題が生じる

次に市場Bを見てみましょう：「共和党はペンシルベニア州で対立候補を5ポイント以上上回るか？」

• YES 価格 $0.32、NO 価格 $0.68。合計でも$1.00。

それぞれの市場は「正常」です。しかし、ここには論理的な依存関係があります：

アメリカの大統領選挙は全国で一斉に票を数えるのではなく、州ごとに票を数えます。各州は独立した「戦場」であり、その州でより多くの票を獲得した者がその州の全ての選挙人票を獲得します（勝者総取り）。トランプは共和党の候補者です。したがって、「共和党がペンシルベニアで勝つ」と「トランプがペンシルベニアで勝つ」は同じことです。もし共和党が対立候補を5ポイント以上上回れば、それはトランプがペンシルベニアで勝つだけでなく、大勝することを意味します。

言い換えれば、市場BのYES（共和党の大勝）は市場AのYES（トランプの勝利）のサブセットです------大勝は必ず勝利を意味しますが、勝利は必ずしも大勝を意味するわけではありません。

この論理的依存関係がアービトラージの機会を生み出します。

これは、あなたが二つの事柄を賭けているようなものです------「明日雨が降るか」と「明日雷雨があるか」。

もし雷雨があれば、必ず雨が降ります（雷雨は雨のサブセットです）。したがって、「雷雨YES」の価格は「雨YES」の価格よりも高くなることはありません。もし市場の価格設定がこの論理に反しているなら、あなたは同時に安く買い、高く売ることで「無リスクの利益」を得ることができ、これがアービトラージです。

指数爆発：なぜ暴力的な探索は通用しないのか

n個の条件を持つ市場に対して、理論的には2^nの可能な価格の組み合わせがあります。

聞こえは良いですか？では、実際のケースを見てみましょう。

2010年のNCAA選手権市場[2]：63試合、各試合に勝ち/負けの2つの結果があります。可能な結果の組み合わせ数は2^{63} = 9,223,372,036,854,775,808------90億億を超えます。市場には5000以上のオッズがあります。

2^{63}という数字はどれほど大きいのでしょうか？もしあなたが毎秒10億の組み合わせをチェックするなら、全てをチェックするのに約292年かかります。これが「暴力的な探索」がここで全く通用しない理由です。すべての組み合わせを一つずつチェックするのは計算上不可能です。

2024年のアメリカ大選を見てみましょう。研究チームは1,576対の依存関係が存在する可能性のある市場ペアを発見しました。もし各ペアの市場に10個の条件があれば、各ペアは2^{20} = 1,048,576の組み合わせをチェックする必要があります。1,576ペアに掛けると、あなたのノートパソコンが計算を終える頃には、選挙結果はすでに出ています。

整数計画：列挙の代わりに制約を使用する

量的システムの解決策は「より速く列挙する」ことではなく、根本的に列挙しないことです。

彼らは整数計画（Integer Programming）を使用して「どの結果が合法であるか」を記述します。

実際の例を見てみましょう。デューク対コーネルの試合市場：各チームには7つのオッズ（0から6勝）があり、合計で14の条件があります。2^{14} = 16,384の可能な組み合わせがあります。

しかし、1つの制約があります：彼らは5勝以上することはできません。なぜなら、そうなると彼らは準決勝で対戦することになるからです（1つだけが進出できます）。

整数計画はどう処理するのでしょうか？3つの制約があれば十分です：

• 制約1：デュークの7つのオッズの中で、ちょうど1つが真である（デュークは最終的な勝利数を1つだけ持つことができます）。

• 制約2：コーネルの7つのオッズの中で、ちょうど1つが真である。

• 制約3：デュークが5勝 + デュークが6勝 + コーネルが5勝 + コーネルが6勝は1以下である（彼らは同時にそれほど多く勝つことはできません）。

この3つの線形制約が16,384回の暴力的なチェックを置き換えます。

暴力的な探索 vs 整数計画

言い換えれば、暴力的な探索は辞書の中のすべての単語を読んで1つの単語を探すようなものです。整数計画はその文字の始まりのページを直接めくるようなものです。すべての可能性をチェックする必要はなく、「合法的な答えがどのようなものか」を記述し、アルゴリズムにルールに違反する価格設定を探させるだけです。

実データ：41%の市場にアービトラージが存在する[2]

原文では、研究チームが2024年4月から2025年4月のデータを分析したことが述べられています：

• 17,218の条件をチェック

• その中で7,051の条件に単一市場アービトラージが存在（41%）

• 中央値の価格偏差：$0.60（$1.00であるべき）

• 確認された13対のクロスマーケットアービトラージ

中央値の偏差$0.60は、市場が常に40%偏っていることを意味します。これは「ほぼ効率的」ではなく、「大規模に利用可能」です。

第2章：Bregman投影------最適なアービトラージ取引を計算する方法

アービトラージを見つけることは一つの問題です。最適なアービトラージ取引を計算することは別の問題です。

あなたは単に「平均を取る」または「価格を微調整する」ことはできません。現在の市場状態を無アービトラージの合法的な空間に投影し、価格の情報構造を保持する必要があります。

なぜ「直線距離」がダメなのか

最も直感的な考えは、現在の価格に最も近い「合法的な価格」を見つけて、その価格差で取引することです。

数学的な言葉で言えば、ユークリッド距離を最小化することです：$||\mu - \theta||^2$

しかし、これには致命的な問題があります：すべての価格変動を同じものとして扱ってしまうことです。

$0.50から$0.60に上がることと、$0.05から$0.15に上がることは、どちらも10セントの上昇ですが、それらの情報含量は全く異なります。

なぜでしょうか？それは価格が暗黙の確率を表しているからです。50%から60%に変わることは、穏やかな見解の調整です。5%から15%に変わることは、巨大な信念の転換です------ほとんど不可能な出来事が突然「少し可能性がある」ものに変わります。

あなたが体重を測っていると想像してみてください。70キロから80キロに変わると、「少し太った」と言うでしょう。しかし、30キロから40キロに変わると（もしあなたが大人なら）、それは「瀕死から重度の栄養失調になった」ということです。同じ10キロの変化でも、意味は全く異なります。価格も同様です------0または1に近い価格の変動は、情報量が大きくなります。

Bregman散度：正しい「距離」

PolymarketのマーケットメーカーはLMSR（対数市場スコアリングルール）[4]を使用しており、価格は本質的に確率分布を表しています。

この構造の下では、正しい距離の測定はユークリッド距離ではなく、Bregman散度です。[5]

LMSRに対して、Bregman散度はKL散度（Kullback-Leibler散度）[6]に変わります------二つの確率分布間の「情報理論的距離」を測る指標です。

公式を覚える必要はありません。あなたが理解すべきことは一つです：

KL散度は自動的に「極端な価格近くの変動」により高い重みを与えます。$0.05から$0.15の変動は、KL散度の下では$0.50から$0.60の変動よりも「遠い」です。これは私たちの直感にぴったり合います------極端な価格の変動はより大きな情報衝撃を意味します。

比較的良い例は、前回@zachxbtの予測市場で、Axiomが最後の瞬間にMeteoraを逆転したことです。これはすべての変化の中で極端な価格変動によるものでした。

Bregman投影 vs ユークリッド投影

アービトラージ利益 = Bregman投影の距離

これは原文著者が論文全体を参考にした最も核心的な結論の一つです：

どの取引でも得られる最大の保証利益は、現在の市場状態から無アービトラージ空間へのBregman投影距離に等しい。

言い換えれば、市場価格が「合法空間」から遠ざかるほど、得られるお金は多くなります。そしてBregman投影はあなたに次のことを教えてくれます：

1. 何を売買すべきか（投影方向が取引方向を示します）

2. どれだけ売買すべきか（注文簿の深さを考慮）

3. どれだけ稼げるか（投影距離が最大利益です）

ランキング1位のアービトラージャーは1年間で$2,009,631.76を稼ぎました。[2]彼の戦略は、誰よりも早く、正確にこの最適化問題を解くことです。

限界多面体とアービトラージ

例えて言うなら、あなたが山の上に立っていて、山の麓に川があると想像してください（無アービトラージ空間）。あなたの現在の位置（現在の市場価格）は川からある距離離れています。

Bregman投影は「あなたの位置から川の岸までの最短経路」を見つける手助けをします------しかし、それは直線距離ではなく、地形（市場構造）を考慮した最短経路です。この経路の長さが、あなたが得られる最大利益です。

第3章：Frank-Wolfeアルゴリズム------理論を実行可能なコードに変える

さて、最適なアービトラージを計算するにはBregman投影を行う必要があることがわかりました。

しかし問題は------Bregman投影を直接計算することは実行不可能です。

なぜでしょうか？無アービトラージ空間（限界多面体M）には指数関数的に多くの頂点があります。標準的な凸最適化手法は完全な制約セットにアクセスする必要があり、つまりすべての合法的な結果を列挙する必要があります。これが、スケールの大きなシナリオでは不可能である理由です。

Frank-Wolfeの核心思想

Frank-Wolfeアルゴリズム[7]の天才的な点は、問題を一度に解決しようとせず、段階的に答えに近づくことです。

その動作方法は次のとおりです：

• 第一歩：小さな既知の合法結果の集合から始めます。

• 第二歩：この小さな集合で最適化を行い、現在の最適解を見つけます。

• 第三歩：整数計画を使用して新しい合法結果を見つけ、集合に追加します。

• 第四歩：最適解に十分近いかどうかを確認します。近くない場合は、第二歩に戻ります。

各反復で、集合は1つの頂点だけを増やします。たとえ100回実行しても、追跡する必要があるのは100個の頂点だけです------2^{63}個ではありません。

Frank-Wolfeの反復プロセス

あなたが巨大な迷路の中で出口を探していると想像してみてください。

暴力的な方法は、すべての道を一度通ることです。Frank-Wolfeの方法は、まず適当に道を進み、各分岐点で「ガイド」（整数計画ソルバー）に「ここから始めて、どの方向が最も出口に近い可能性があるか？」と尋ねることです。そしてその方向に一歩進みます。あなたは迷路全体を探索する必要はなく、各重要なノードで正しい選択をするだけです。

整数計画ソルバー：各ステップの「ガイド」

Frank-Wolfeの各反復は整数線形計画問題を解く必要があります。これは理論的にはNP困難です（つまり「既知の高速な汎用アルゴリズムがない」）。

しかし、現代のソルバー、例えばGurobi[8]は、構造が良好な問題に対して効率的に解決できます。

研究チームはGurobi 5.5を使用しました。実際の解決時間：

• 初期の反復（少数の試合が終了）：1秒未満

• 中期（30-40試合が終了）：10-30秒

• 後期（50以上の試合が終了）：5秒未満

なぜ後期の方が速いのでしょうか？試合結果が確定するにつれて、実行可能な解空間が縮小するからです。変数が少なく、制約が厳しくなり、解決が速くなります。

勾配爆発問題とBarrier Frank-Wolfe

標準のFrank-Wolfeには技術的な問題があります：価格が0に近づくと、LMSRの勾配は負の無限大に近づきます。これによりアルゴリズムが不安定になります。

解決策はBarrier Frank-Wolfeです：完全な多面体M上で最適化するのではなく、少し「収縮」したバージョンM上で最適化します。収縮パラメータεは反復に応じて自動的に減少します------最初は境界から少し離れたところ（安定）で始まり、後に徐々に真の境界に近づきます（正確）。

研究によれば、実際の操作では50から150回の反復で収束するのに十分です。

実際のパフォーマンス

論文には重要な発見があります[2]：

NCAA選手権の最初の16試合では、Frank-Wolfeマーケットメーカー（FWMM）と単純な線形制約マーケットメーカー（LCMM）のパフォーマンスはほぼ同じでした------整数計画ソルバーがまだ遅すぎたためです。

しかし、45試合が終了した後、初めて成功した30分の投影が完了しました。

それ以降、FWMMはオッズの価格設定においてLCMMよりも38%優れました。

転換点は、結果空間が整数計画が取引時間内に解決できる範囲に縮小されたときです。

FWMMは学生のようなもので、試験の前半ではまだウォーミングアップしているが、一旦状態に入ると、圧倒的に優れ始めます。LCMMは常に安定したパフォーマンスを発揮するが、限界がある学生です。重要な違いは、FWMMがより強力な「武器」（Bregman投影）を持っているが、「弾薬を装填する」時間が必要だということです（ソルバーが完了するのを待つ）。

第4章：実行------計算しても損失が出る理由

あなたはアービトラージを検出しました。Bregman投影を使って最適な取引を計算しました。

今、あなたは実行する必要があります。

これはほとんどの戦略が失敗する場所です。

非原子的実行問題

PolymarketはCLOB（中央限価注文簿）[9]を使用しています。分散型取引所とは異なり、CLOB上の取引は順次実行されるため、すべての注文が同時に成立することは保証されません。

あなたのアービトラージ計画：

YESを購入、価格$0.30。NOを購入、価格$0.30。総コスト$0.60。結果に関わらず、$1.00を回収。利益$0.40。

現実：

• YES注文を提出、成立価格$0.30 ✓

• あなたの注文が市場価格を変えました。

• NO注文を提出、成立価格$0.78 ✗

• 総コスト：$1.08。回収：$1.00。実際の結果：損失$0.08。

一方の足は成立しましたが、もう一方は成立しませんでした。あなたは露出しています。

これが、論文が利益空間が$0.05を超える機会のみを統計に含める理由です。より小さな価格差は実行リスクに飲み込まれます。

非原子的実行リスク

VWAP：実際の成立価格

あなたが提示価格で成立することができると仮定しないでください。出来高加重平均価格（VWAP）[10]を計算する必要があります。

研究チームの方法は、Polygonチェーン上の各ブロック（約2秒）に対して、そのブロック内のすべてのYES取引のVWAPとすべてのNO取引のVWAPを計算することです。もし|VWAP_yes + VWAP_no - 1.0| > 0.02であれば、アービトラージ機会として記録します[2]。

VWAPは「あなたが実際に支払った平均価格」です。もしあなたが10,000トークンを購入したいが、注文簿上で$0.30の価格には2,000個しかなく、$0.32には3,000個、$0.35には5,000個ある場合------あなたのVWAPは$(2000×0.30 + 3000×0.32 + 5000×0.35) / 10000 = 0.326。あなたが見た「最適価格」$0.30よりもかなり高くなります。

流動性制約：どれだけ稼げるかは注文簿の深さに依存する

たとえ価格に偏りがあったとしても、あなたが得られる利益は利用可能な流動性に制限されます。

実際の例[2]：

市場がアービトラージを示しています：YES価格の合計=$0.85。潜在的な利益：1ドルあたり$0.15。しかし、これらの価格の注文簿の深さは$234しかありません。最大引き出し利益：$234 × 0.15 = $35.10。

クロスマーケットアービトラージの場合、すべてのポジションに同時に流動性が必要です。最小のものがあなたの上限を決定します。

これが、既存の量的プラットフォームにおいて、注文価格が成立価格に与える影響を示すことが重要な理由です。

第5章：完全なシステム------実際に展開したもの

理論はクリーンです。生産環境は混沌としています。

これは実際に機能するアービトラージシステムの姿です[2]。

データパイプライン

• リアルタイムデータ：WebSocketを介してPolymarketのAPI[9]に接続し、注文簿の更新（価格/数量の変化）、成立プッシュ、マーケットの作成/決済イベントを受信します。

• 履歴データ：Alchemy PolygonノードAPIを通じて契約イベントをクエリします------OrderFilled（取引実行）、PositionSplit（新トークンの鋳造）、PositionsMerge（トークンの消失）。

研究チームは8600万件の取引を分析しました[2]。この規模はインフラを必要とし、スクリプトでは解決できません。

現在、高速取引APIのオープンソース化も計画中です。もし同様の取引モデルを使用する予定があれば、APIを第一に体験できることを願っていますし、いつでもDMしてください。

依存関係検出層

305のアメリカ大選市場に対して、46,360対の可能な組み合わせをチェックする必要があります。手動分析は不可能です。

研究チームは賢い方法を使用しました：DeepSeek-R1-Distill-Qwen-32Bという大規模言語モデルを使って初期スクリーニングを行いました。

• 入力：二つの市場の条件の説明。

• 出力：合法的な結果の組み合わせのJSON。

その後、三重の検証を行います：各市場にはちょうど1つの条件が真であるか？合法的な組み合わせ数は$n \times m$（依存関係が存在する）未満か？依存サブセットはアービトラージ条件を満たしているか？

結果：40,057対が独立（無アービトラージ）、1,576対が依存（潜在的アービトラージ）、374対が厳しい条件を満たし、13対が人工的に検証可能でした[2]。

LLMは複雑な多条件市場において81.45%の精度を持っています。初期スクリーニングには十分ですが、実行前には人工的な検証が必要です。

三層最適化エンジン

• 第一層：単純線形制約（LCMM）。基本的なルールを迅速にチェックします------「確率の合計は1である」、「もしAがBを含むなら、P(A)はP(B)を超えてはいけない」。ミリ秒単位で完了し、明らかな価格設定エラーを除去します。

• 第二層：整数計画投影（Frank-Wolfe + Gurobi）。これが核心です。パラメータ：Alpha = 0.9（利用可能なアービトラージの少なくとも90%を抽出）、初期$\epsilon$ = 0.1（10%収縮）、収束閾値 = 1e-6、時間制限 = 30分。典型的な反復回数：50-150回。各反復の解決時間：1-30秒。

• 第三層：実行検証。注文を提出する前に、現在の注文簿での成立をシミュレーションします。チェック：流動性は十分か？予想スリッページはどれくらいか？スリッページを差し引いた保証利益はどれくらいか？利益は最低基準（$0.05）を超えているか？すべてを通過した場合のみ実行します。

ポジション管理：改良版Kelly公式

標準のKelly公式[11]は、どれだけの割合の資金を一つの取引に投入すべきかを教えます。しかし、アービトラージのシナリオでは、実行リスクの調整を加える必要があります：
f = (b×p - q) / b × √p

ここでbはアービトラージ利益の割合、pは完全実行の確率（注文簿の深さに基づいて推定）、q = 1 - pです。

上限：注文簿の深さの50%。この割合を超えると、あなたの注文自体が市場を大きく動かすことになります。

最終結果

2024年4月から2025年4月までの総引き出し利益：

• 単一条件アービトラージ：両側を低く買い$5,899,287 + 両側を高く売り$4,682,075 = $10,581,362

• 市場の再バランス：すべてのYESを低く買い$11,092,286 + すべてのYESを高く売り$612,189 + すべてのNOを買い$17,307,114 = $29,011,589

• クロスマーケット組み合わせアービトラージ：$95,634

合計：$39,688,585

上位10名のアービトラージャーは$8,127,849を獲得しました（総額の20.5%）。ランキング1位のアービトラージャー：$2,009,632、4,049件の取引から、平均1件あたり$496[2]。

これは宝くじではありません。運ではありません。数学的精度の体系的な実行です。

最後の現実

取引者が「予測市場の10のヒント」を読んでいる間、量的システムは何をしているのでしょうか？

彼らは整数計画を使用して17,218の条件間の依存関係を検出しています。Bregman投影を使用して最適なアービトラージ取引を計算しています。勾配爆発を処理するためにFrank-Wolfeアルゴリズムを実行しています。VWAPを使用してスリッページを推定し、並行して注文を実行しています。4,000万ドルの保証利益を体系的に引き出しています。

差は運ではありません。数学的インフラです。

論文は公開されています[1]。アルゴリズムは知られています。利益は現実です。

問題は：次の4,000万ドルが引き出される前に、あなたはそれを構築できるでしょうか？

概念速查

• 限界多面体（Marginal Polytope） すべての「合法的な価格」で構成される空間。価格はこの空間内にある必要があります。これは「価格の合法的な領域」と理解できます。

• 整数計画（Integer Programming） 線形制約を使用して合法的な結果を記述し、暴力的な列挙を避けます。$2^{63}$回のチェックを数条の制約に圧縮します[3]。

• Bregman散度 / KL散度 二つの確率分布間の「距離」を測る方法で、価格/確率のシナリオにより適しています。極端な価格近くの変動により高い重みが与えられます[5][6]。

• LMSR（対数市場スコアリングルール） Polymarketのマーケットメーカーが使用する価格設定メカニズムで、価格は暗黙の確率を表します[4]。

• Frank-Wolfeアルゴリズム 反復最適化アルゴリズムで、各反復で新しい頂点を1つ追加し、指数的に多くの合法的な結果を列挙することを避けます[7]。

• Gurobi 業界をリードする整数計画ソルバーで、Frank-Wolfeの各反復の「ガイド」です[8]。

• CLOB（中央限価注文簿） Polymarketの取引マッチングメカニズムで、注文は順次実行され、原子的な保証はありません[9]。

• VWAP（出来高加重平均価格） あなたが実際に支払った平均価格で、注文簿の深さを考慮します。「最適な提示価格」よりも現実的です[10]。

• Kelly公式 どれだけの割合の資金を一つの取引に投入すべきかを教え、利益とリスクのバランスを取ります[11]。

• 非原子的実行 複数の注文が同時に成立することを保証できない問題。一方が成立し、もう一方が成立しない=露出リスク。

• DeepSeek 市場の依存関係の初期スクリーニングに使用される大規模言語モデルで、精度は81.45%です。

参考資料

[1] 原文：https://x.com/RohOnChain/status/2017314080395296995

[2] 研究論文「Unravelling the Probabilistic Forest: Arbitrage in Prediction Markets」：https://arxiv.org/abs/2508.03474

[3] 理論基盤論文「Arbitrage-Free Combinatorial Market Making via Integer Programming」：https://arxiv.org/abs/1606.02825

[4] LMSR対数市場スコアリングルールの説明：https://www.cultivatelabs.com/crowdsourced-forecasting-guide/how-does-logarithmic-market-scoring-rule-lmsr-work

[5] Bregman散度入門：https://mark.reid.name/blog/meet-the-bregman-divergences.html

[6] KL散度 - Wikipedia：https://en.wikipedia.org/wiki/Kullback%E2%80%93Leibler_divergence

[7] Frank-Wolfeアルゴリズム - Wikipedia：https://en.wikipedia.org/wiki/Frank%E2%80%93Wolfe_algorithm

[8] Gurobi最適化器：https://www.gurobi.com/

[9] Polymarket CLOB APIドキュメント：https://docs.polymarket.com/

[10] VWAPの説明 - Investopedia：https://www.investopedia.com/terms/v/vwap.asp

[11] Kelly公式 - Investopedia：https://www.investopedia.com/articles/trading/04/091504.asp

[12] Decryptの報道「The $40 Million Free Money Glitch」：https://decrypt.co/339958/40-million-free-money-glitch-crypto-prediction-markets