Polymarket マーケットメイキング・バイブル：価格スプレッドの計算式

原題：予測市場におけるブラック・ショールズ・モデルへのアプローチ：統一カーネルとマーケットメーカーのハンドブック

出典：ダイダロス・リサーチ

翻訳、注釈：MrRyanChi、insiders.bot

@insidersdotbotを立ち上げた初日、あるユーザーから、この製品を通じて流動性を提供することは可能か、と尋ねられました。Polymarketが流動性供給インセンティブプログラムを開始したことを受け、さまざまなグループで流動性供給に関する議論が活発化しています。

しかし、アービトラージと同様、流動性供給もまた、単に両側に注文を出して流動性を提供することで利益を得るという単純な話ではなく、議論するには厳密な数学的アプローチを必要とする分野である。従来の暗号資産先物市場のマーケットメーカーはすでに巨額の富を築いているが、予測市場のマーケットメーカーはまだ初期段階にあり、利益を上げる余地は十分にある。

偶然にも、つい先日、あるクオンツ界の大物からの推薦をきっかけに、@DaedalusRschの@0x_Shaw_dalenによる学術論文を目にした。そこでは、Polymarketにおける流動性供給戦略のロジック全体と、その具体的な実行方法について詳しく解説されていた。

今回の記事は前回のものよりも100倍も専門的な内容となっているため、追加の参考文献を参照することなく、予測市場の流動性供給について誰もが包括的に理解できるよう、大幅な書き直し、調査、分析が行われました。

前回の記事については、「Polymarketアービトラージバイブル：」をご覧ください。「真の格差は数学的基盤にある」

次の予測市場の「大口プレイヤー」になることを目指しているにせよ、エアドロップや流動性インセンティブを通じて大きな成果を上げたいにせよ、機関投資家レベルの流動性供給戦略を徹底的に理解する必要があります。そして、まさにその点こそが、この記事が皆様に提供できるものです。

はじめに

本題に入る前に、2つお尋ねさせてください。

一つ目：あなたはPolymarketで流動性を提供しており、「トランプ氏が選挙に勝利する」という契約の現在の価格は0.52ドルです。0.51ドルで買い注文を出し、0.53ドルで売り注文を出しました。突然、CNNが重大ニュースを報じた。スプレッドはいくらに設定すべきでしょうか？0.02ドル？0.05ドル？0.10ドル？

あなたは知らない。誰にもわからない。「このニュースがスプレッドに何ベーシスポイントの影響を与えるか」を示す明確な計算式が存在しないためです。

第二に：あなたは、「トランプ氏がペンシルベニア州で勝利」、「共和党が上院で過半数を獲得」、「トランプ氏がミシガン州で勝利」という各市場で、同時にマーケットメイキングを行っています。選挙の夜、最初の激戦州の結果が発表される。これら3つの市場は、同時に激しい変動に見舞われている。あなたの投資ポートフォリオ全体が、わずか3分で40％の価値を失う。

後になって振り返ってみると、問題は方向性の誤りではなく、「これら3つの市場が同時に動く」というリスクの大きさを測る手段がなかったことに気づく。

これら2つの問題は、1973年に従来のオプション市場において解決された。

1973年、ブラック・ショールズ・モデルは、人々に共通の言語をもたらした。マーケットメーカーは、スプレッド（インプライド・ボラティリティ）の価格設定方法を知っていた。トレーダーたちは、複数のポジションが相互に関連するリスク（ギリシャ文字や相関関係）をヘッジする方法を熟知していた。バリアンス・スワップからVIX指数、相関スワップに至るまで、デリバティブ市場全体の仕組みは、この基盤の上に築かれたものである。

先日、香港でBSモデルの考案者たちの英知を目の当たりにする機会がありました

しかし、2025年の予測市場では？マーケットメーカーは直感に基づいてスプレッドを調整する。トレーダーはボラティリティを判断する際、直感に頼っている。「この市場の信念の変動性はどの程度か」という問いに対して、正確に答えられる人は誰もいない。

現在の予測市場は、1973年以前のオプション市場に似ている。

そして、これは単なる理論上の問題ではなく、現実の金銭的な問題なのです。

Polymarketでは現在、包括的なマーケットメーカー向けインセンティブ制度を導入しており[15][16]、マーケットメイキングに1,000万ドル以上のインセンティブ資金が活用されています。しかし問題は、価格設定モデルがない場合、スプレッドをどの程度に設定すべきか、どうやって判断すればよいのかということです。

スプレッドが広すぎると、報酬を受け取れません（他の人の方がスプレッドが狭いからです）。

スプレッドが狭すぎると、インサイダーに先回りされてしまいます。

モデルがなければ、あなたはまるで象を触る盲人のようなものです。運が良ければ多少の利益を得られるかもしれませんが、運が悪ければ元手をすべて失うことになるでしょう。

ショーの論文[1]を読むまで、私は気づかなかった。

要するに、それは予測市場向けに完全なブラック・ショールズ・モデルを実装したということだ。単なる新しい価格算定方式にとどまらず、価格設定からヘッジ、在庫管理からデリバティブ、キャリブレーションからリスク管理に至るまで、市場形成を支えるインフラ全体です。

Polymarketのトレーダーであり、@insidersdotbot取引プラットフォームの創設者として、私はこの1年間、数多くのマーケットメーカーチーム、クオンツファンド、および取引インフラ開発者たちと深く議論を重ねてきました。はっきり言っておきますが、この論文が扱っているのは、まさに誰もが疑問に思っているけれど、誰も答えられないあの問題なのです。

ブラック・ショールズ・モデルが何か分からないという方もご安心ください。この記事では一から解説しますし、マーケットメイキングに関する基礎知識はあまり必要ありません。

そうすれば、これがどういうことなのかがわかって、さらにワクワクするはずです：インプライド・ボラティリティ、グリーク、分散スワップ、相関ヘッジ――伝統的なオプション市場のあらゆるツールが、まもなく予測市場に導入されようとしている。

この記事を読めば、市場形成における価格設定の包括的な枠組みが理解でき、「頭の中で思いつくままにスプレッドを設定する」段階から、「数式を用いてスプレッドを設定する」段階へとステップアップできるでしょう。

第1章：ボラティリティ・プライシングの第一歩 ― ブラック・ショールズ・モデル

予測市場をイベント契約/バイナリーオプションとして論じる前に、まず一つ理解しておくべきことがあります：ブラック・ショールズは実際には何をしたのか？なぜそれがそれほど重要なのでしょうか？

1973年以前：選択肢 = ギャンブル

1973年以前、オプション取引は基本的に次のようなものでした：

アップルの株価が上昇すると予想しているため、「1か月後に150ドルでアップル株を購入する」権利（コールオプション）を買いたいと考えています。

問題は次の通りです：この権利の価値はどれくらいでしょうか？

誰も知らなかった。

売り手は「10ドル」と言っています。買い手は「高すぎる、5ドルだ」と言う。最終的に7.50ドルで決着した。

それが1973年以前のオプション価格決定の仕組み――つまり、交渉だった。「適正価格」という公式も、モデルも、概念も存在しない。誰もが推測していた。

オプションの本質とは、わずかな資金で「予想が当たれば」というチャンスを買うことにある。

ブラック・ショールズ・モデルの主なポイント

1973年、フィッシャー・ブラックとマイロン・ショールズは論文[2]を発表し、一見単純に見える次のような考えを提唱した：

オプションの価格は、あなたが知らないたった一つの要素、すなわちボラティリティにのみ左右されます。

株価が上がるか下がるか（方向）には依存しません。それは、あなたがどれだけ値上がりすると予想するか（期待リターン）には依存しません。それは、どれだけ変動するか次第です。

なぜ？なぜなら、彼らはあることを証明したからだ：オプションを保有している場合、原資産となる株式を継続的に売買することで、そのオプションのペイオフを「再現」することができます。この複製プロセスのコストは、ボラティリティのみに依存します。

これは中学校の数学で理解できます：

コインゲームをしていると想像してみてください。表が出れば1ドル勝ち、裏が出れば1ドル負けです。誰かがあなたに「保険」を売りつける：最終的に損失が出た場合、保険会社がその損失を補償します。この保険の価値はどれくらいですか？

重要なのは、コイン投げが「公平」かどうか（表が出る確率が50％かどうか）ではない。重要なのは、コインを投げるたびにどの程度の変動があるかということです。

各回の変動幅が±$1であれば、保険料は安くなります。1回の賭けごとに±100ドルかかるなら、保険は非常に高額になります。

ボラティリティが高ければ高いほど → 保険料は高くなり → オプションの価格も高くなる。それだけのことです。

ブラック・ショールズが行ったのは、この直感を正確な数式に変換することだった。

なぜこれがマーケットメイキングのモデルを変えたのか？

ブラック・ショールズ・モデル以前：選択肢はギャンブルだった。トレーダーたちは共通の言語を持たず、直感に基づいて価格を決定していた。

ブラック・ショールズは、オプションに関する共通認識を確立した：

共通の言語が生まれた。誰もが「インプライド・ボラティリティ」を用いて価格を算出するようになった。「このオプションの価値は7.50ドルだ」とは言わなくなり、「このオプションのインプライド・ボラティリティは25％だ」と言うようになる。まるで、誰もが突然同じ言葉を話し始めたかのようだった。

リスクは分解されました。オプションのリスクは、デルタ（方向性リスク）、ガンマ（加速リスク）、ベガ（ボラティリティリスク）、シータ（時間価値の減少）という、いくつかの独立した「次元」に分解されています。これらは「グリークス」と呼ばれます。マーケットメーカーは、各要素のリスクを正確にヘッジすることができる。

デリバティブが登場した。共通の基盤があれば、その上に新しい製品を構築することができます。分散スワップ（ボラティリティの大きさに賭けるもの）、相関スワップ（2つの資産間の相関関係に賭けるもの）、VIX指数（「恐怖指数」）――これらすべてはブラック・ショールズ・モデルの「派生商品」である。

CBOEが設立された。シカゴ・オプション取引所（CBOE）は1973年に設立された。これはブラック・ショールズの論文が発表された年と同じである。これは偶然ではなかった。この価格算定式を用いれば、オプションを標準化された形で取引することが可能となる[3]。

言い換えれば、ブラック・ショールズ・モデルは、オプションを「ギャンブル」から「金融工学」へと変貌させたのである。これは単なる数式ではありません。それは、インフラ全体の出発点なのです。

1973年頃の比較

現在、市場の予測におけるマーケットメイキングは、1973年以前の段階にある

2025年、予測市場の月間取引高は130億ドルを超えた[9]。NYSEの親会社であるICEは、Polymarketに20億ドルを出資し、同社の企業価値を80億ドルと評価した [7]。カルシとポリマーケットの2社で、市場シェアの97.5%を占めている。

しかし――

マーケットメーカーはスプレッドをどのように設定しているのでしょうか？直感で。

トレーダーは、ある契約のボラティリティが「割高」か「割安」かをどのように判断するのでしょうか？感覚で。

相関関係にある2つの市場間の連動性をどのようにヘッジすればよいでしょうか？標準的なツールはありません。

ニュースの影響が生じた場合、スプレッドはどのように調整すべきでしょうか？人それぞれ独自のその場しのぎのやり方がある。

これは1973年以前のオプション市場です。

そして、この記事で紹介するモデルの目的は、予測市場のマーケットメーカー向けのブラック・ショールズ・モデルを作成することです。

第2章：ロジット変換 ― 予測市場へのBSモデルの適用

最初の質問：予測市場と株式市場の違いは何ですか？

理論上、株価は0ドルから無限大まで上昇する可能性がある。Appleの価格は150ドルから1500ドルまで幅があり、あるいは0ドルまで下がることもあります。

一方、予測市場の契約価格は常に0ドルから1ドルの間にある。

「トランプ氏が選挙に勝利する」というYES契約の価格は、その事象の発生確率に対する市場の予想を表しています。0.60ドルということは、市場はその事象が60％の確率で起こると見込んでいることを意味します。

この違いは些細なものに見えるかもしれませんが、重大な数学的問題を引き起こします：

ブラック・ショールズ・モデルを直接適用することはできません。

なぜ？ブラック・ショールズ・モデルは、価格が実数直線全体（厳密には正の半直線）に沿って自由に動くことができると仮定しているからである。しかし、確率は0から1の間に「制限」されています。確率が0または1に近づくにつれて、その挙動は非常に特異なものとなる――変化のペースが緩やかになり、境界付近でより「粘着性」が強くなる。

例えば、廊下を走っているところを想像してみてください。廊下の真ん中では、自由に走り回ることができます。しかし、壁に近づいたらスピードを落とさないと、壁にぶつかってしまいます。確率も同様の挙動を示す――0や1に近いほど、「変動」しにくくなる。0.50ドルから0.55ドルへの上昇は簡単だ（単なるニュース一つで済む）。しかし、0.95ドルから1.00ドルへの上昇は極めて困難だ（ほぼ確実な根拠が必要となる）。

解決策：ロジット変換 ― 廊下を遊び場に変える

本論文における最初の重要なステップ：確率 p を直接モデル化せず、そのロジット変換をモデル化してください。

ロジットとは何ですか？

x = log(p / (1-p))

これにより、確率 p は「対数オッズ」に変換されます。いくつか例を見てみましょう：

・ p = 0.50（五分五分）→ x = log(1) = 0

・ p = 0.80（極めて高い）→ x = log(4) = 1.39

・ p = 0.95（ほぼ確実） → x = log(19) = 2.94

・ p = 0.99（極めて確実） → x = log(99) = 4.60

・ p = 0.01（ほぼあり得ない）→ x = -4.60

0から1までの有限の確率区間は、-∞から+∞までの実数直線全体に写像される。

廊下が遊び場と化してしまった。0や1付近における確率の「粘着性」が失われた。これで、x に対して従来の数学的手法をすべて自由に用いることができます。

ロジット変換というものを、以前どこかで目にしたことがあるかもしれません。これは、機械学習におけるシグモイド関数の逆関数です。S字関数は、任意の数値を0から1の範囲に圧縮します（確率予測に使用されます）。ロジット関数はこれとは逆の働きをします。つまり、0から1の間の確率を、実数直線全体に「拡張」するのです。

なぜこれをするのですか？0や1に近い確率の振る舞いは「奇妙」だからです。0.95から0.96へ、あるいは0.50から0.51へと変化する場合、どちらも0.01の増加ですが、その情報量は全く異なります。ロジット変換により、この「不均一性」が平坦化される。ロジット空間において、等間隔の変化は、情報の影響度が等しいことを表す。

ロジット変換

ジャンプ、拡散、およびドリフト：信念の拡散が急増

これでロジット空間に入りました。次に、本論文では、中核的な変化率モデルを次のように提案している：

dx = μ dt + σ_b dW + ジャンプ

この計算式に怖気づかないでください。以下の3つの要素は、マーケットメイキングのプロセスにおいて、それぞれ直感的に理解できるようになる必要があります：

拡散（σ_b dW）：これが信念の変動性です。重大なニュースがない状況下で、絶え間ない情報の流れ（株価の変動、アナリストのコメント、ソーシャルメディアの世論）によって、確率が徐々に変化していく速度。これが予測市場の「インプライド・ボラティリティ」であり、この記事全体の核心となる概念である。マーケットメーカーのスプレッド、デリバティブの価格設定、リスク管理――これらすべては、このσ_bを中心に展開している。

ジャンプ：突発的なニュースによって引き起こされた確率の急変。討論における重大な失策、予期せぬ政策発表、突然の撤退――これらは「緩やかな拡散」ではなく、「瞬時の飛躍」に属するものである。

ドリフト（μ）：時間の経過に伴う確率論的な「自然な傾向」。しかし、重要な点があります。ドリフトは自由なものではなく、完全に固定されているのです。その理由は次のとおりです。

選挙の世論調査を見ている自分を想像してみてください。

たいていの場合、支持率は毎日0.1～0.3ポイント程度変動します。これが拡散（σ_b dW）です。水面のさざ波のように、絶え間なく、しかし穏やかに。

ある晩、討論会の最中に、ある候補者がとんでもない発言をしてしまった。支持率は一夜にして55％から42％へと急落した――これは大きな落ち込みだ。水面に石を投げ込んだような。

このモデルは、「波紋」と「石」の両方を捉えています。従来のブラック・ショールズ・モデルには、波紋（純粋な拡散）のみが存在し、石（ジャンプ）は含まれていない。本論文のモデルはより包括的である。なぜなら、予測市場におけるニュースによるショックは、株式市場に比べてはるかに頻繁かつ深刻だからである。

ジャンプ拡散モデル

ロックド・イン・ドリフト：真のマーケットメーカーのアルファ

これは、論文全体の中で最も微妙な部分の一つである。

伝統的なブラック・ショールズ・モデルには、次のような有名な結論がある：オプション価格の算出において、株価が上昇するか下落するかを把握する必要はない。Appleのオプションの価格を算出するのに、来年Appleの株価が上がるか下がるかを予測する必要はありません。なぜなら、測定下ではドリフトがリスク中立金利に「置き換えられる」からである。

予測市場でも同様のことが起こります：確率 p はマルチンゲールでなければならない。新たな情報がない限り、その確率に関する最善の推測は、現在の確率そのものです。市場がトランプ氏の当選確率を60％と見なしているなら、新たな情報がない限り、明日の最善の予測も依然として60％のままである。

これはつまり、ドリフトμは完全に固定されています。信念の変動性 σ_b とジャンプ挙動が分かれば、ドリフトは自動的に決定される。ドリフトの具体的な数値を推測する必要はありません。

マーケットメーカーにとっては、これは朗報だ。「トランプが勝つかどうか」（方向性）を予測する必要はなく、「市場の不確実性がどの程度か」（ボラティリティ）を見極めればよいのです。方向性については誰もが手探り状態だ――その点で、君に優位性はない。しかし、ボラティリティはデータから正確に推定できるものであり、それがあなたの強みとなるのです。

簡単に言えば、明日雨が降るかどうか（方向性）を知る必要はなく、天気予報の不確実性がどれほど高いか（変動性）を知ればよいのです。「方向性」ではなく、「不確実性」に対して価格を付けるのです。これが、マーケットメーカーと個人投資家の根本的な違いです。

取引可能な3つのリスク要因

ドリフトがヘッジされた後、何が残るのか？マーケットメーカーが考慮すべき3つの要素は以下の通りです：

信念の変動率 σ_b:大きなニュースがない場合の確率における「1日あたりの変動幅」。これは、価格スプレッドの主要な決定要因です。σ_bが高い → スプレッドが広がる。σ_bが低い → スプレッドが狭まる。

ジャンプ強度 λ とジャンプサイズ：突然のニュースはどれくらいの頻度で起こるのでしょうか？1回発生するごとに、価格はどれくらい跳ね上がるのでしょうか？これにより、どれだけの「保険」が必要かが決まります（第4章のデリバティブがこれを行います）。

イベント間の相関と共通ジャンプ：相関関係にある2つの市場は、同じニュースを受けて同時に動くのでしょうか？これがポートフォリオのリスクを決定します。

これら3つの要素は、マーケットメーカーを予測するための「ダッシュボード」となる。従来のオプション市場のマーケットメーカーが毎日インプライド・ボラティリティ・サーフェスを注視するように、将来の予測市場のマーケットメーカーはσ_b、λ、ρに注目することになるだろう。

第3章：マーケットメーカー・プレイブック

その理論は妥当だ。しかし、マーケットメーカーが重視しているのは：これはどうやって収益を上げているのですか？

予測市場のグリークス

伝統的なオプション市場において、ギリシャ文字（Greeks）はマーケットメーカーにとっての生命線である。デルタは方向性リスクの大きさを示し、ガンマは加速リスクを示し、ベガはボラティリティの変化による影響を示します。

本論文では、予測市場向けのギリシャ指標の完全なセットを定義する[1]：

最も重要なのは、デルタ、デルタ = p(1-p) である

これが方向感度です。ロジット空間において、xが1単位変化したときに、確率pがどれだけ変化するかを示しています。

次の式に注目してください：p(1-p)。この話題は何度も繰り返し出てくるだろう――それがこの記事全体の「共通の要素」なのだ。

p = 0.50 の場合、Max Delta = 0.25 となる。p = 0.95 の場合、Δ = 0.0475 となる。p = 0.99 の場合、Δ = 0.0099 となる。

マーケットメーカーはこれをどのように活用するのでしょうか？p = 0.50付近では、同じ情報ショックが最大の価格変動を引き起こすため、リスクをヘッジするにはより広いスプレッドが必要となる。p = 0.99 付近では、ロジット空間で大きな変化があっても価格はほとんど変動しないため、非常に狭いスプレッドを設定することができます。

例えば、現在50対50の接戦となっている選挙では。あるニュースが報じられると、その確率は50％から55％へと跳ね上がる――5ポイントの変化だ。しかし、現在の確率が99対1だとすれば、同じニュースがあっても、その確率は99％から99.2％に変わるだけだろう――ほとんど変化はない。ある結果に近づくほど、それを覆すのは難しくなる。

デルタ感度

さらに、その他の重要な要素として、ガンマ、ビリーフ・ベガ、相関ベガの3つが挙げられます。

γ = p(1-p)(1-2p)：これが「ニュースの非線形性」です。確率が50％でない場合、良いニュースと悪いニュースの影響は非対称的である。p = 0.70 の場合、良いニュースの影響は悪いニュースよりも小さくなります（すでに水準が高く、上昇余地が限られているためです）。マーケットメーカーはこれを理解しておく必要があります。なぜなら、非対称性があるということは、在庫リスクも非対称であることを意味するからです。

ビリーフ・ベガ：信念の変動に対するポジションの感応度。もしσ_bが急上昇した場合（例えば討論会の前日など）、ポジションの価値はどのように変化するでしょうか？

ベガの相関：相関関係にある2つの市場でポジションを保有している場合、その相関関係の変化はどのような影響を及ぼすでしょうか？

4つのリスクの種類

本論文では、マーケットメーカーが直面するあらゆるリスクを4つの主要な類型に分類している[1]：

方向性リスク（デルタ）：価格はどちらの方向に動くでしょうか？これが最も基本的なものです。

曲率リスク（ガンマ）：重要なニュースが報じられた際、価格の反応は非対称的か？

情報感応度リスク（ビリーフ・ベガ）：市場の「不確実性」そのものが変化しつつあるのだろうか？例えば、討論会の前に不安が高まるような場合です。

イベント間リスク（相関ベガ＋共通ジャンプ）：同じニュースによって、複数のポジションが同時に損失を出す可能性はありますか？

例えば、保険会社の場合、「Directional Risk」とは「この家は火事になるだろうか？」ということです。カーバチャー・リスクとは、「万一火災が発生した場合、その損失は線形に増大するのか、それとも指数関数的に増大するのか」という問いである。「情報強度リスク」とは、「今年は特に乾燥しており、それ自体が火災発生の可能性を高めているか？」という問いです。イベント間のリスクとは、「ある家が火事になった場合、隣の家も燃えてしまうだろうか？」というものです。

優れたマーケットメーカーは、これら4種類のリスクを混同することなく、個別に管理する。

在庫管理：在庫に基づいて価格を設定する方法

マーケットメーカーにとって、日々の業務において最も重要な課題は次の通りです：在庫はどれくらいあるのか、またスプレッドの価格設定はどうすべきか？

本論文では、アベジャネダ・ストイコフの古典的なマーケットメイキング・モデル[6]をロジット空間に転置している：

リザーブ・クオート = 現在のロジット値 － 在庫 × リスク回避度 × 確信の分散 × 残存期間

総スプレッド ≈ リスク回避度 × 期待値の分散 × 残存期間 + 流動性プレミアム

式を覚える必要はありません。次の3つのルールを覚えておいてください：

在庫が増えれば、価格のばらつきも増える。YESの契約を保有しすぎると、YESの売値が下がり（他者の買いを促す）、さらにYESの買値も押し下げることになります（これ以上買い増す気がなくなるため）。これはマーケットメーカーによる「自己防衛策」であり、価格設定を通じて在庫を管理するものです。

ボラティリティの上昇 → スプレッドの拡大。市場の不確実性が高まるほど、負うリスクは大きくなり、それに見合った報酬（スプレッド）を求めるようになる。ディベートナイトには、σ_bが急上昇するにつれて、スプレッドは自動的に拡大するはずです。

満期が近づくほど → スプレッドが狭くなる。残っている不確実性が減少しているからです。選挙当日の朝、結果がほぼ確定する頃には、その差はごく僅かになっているはずだ。

でも、ここが面白いところなんです：ロジット空間におけるオッズを確率空間に写像すると、極端な確率付近では分布の広がりが自動的に圧縮される。デルタは p(1-p) であるため、p ≈ 0 または p ≈ 1 の場合、ロジット空間における単位の変化は、確率空間におけるわずかな変化に対応する。つまり、ロジット空間でスプレッドを一定に保ったとしても、元の価格空間にマッピングし直すと、極端な価格付近でのスプレッドは自動的に狭まることになる。

これは、Polymarketのインセンティブ・メカニズムと完全に一致しています：確率が極端に近い場合、（リスクが低いため）非常に狭いスプレッドを設定でき、より高いQスコアを獲得し、より多くの流動性報酬を得ることができます。このモデルは自動的にこれを実現します。

例えば、あなたが中古車販売業者だとしましょう。車の市場価値が非常に不確実な場合（1万ドルかもしれないし、2万ドルかもしれない）、買い値と売り値の幅を広く設定することになります――買い値1万2000ドル、売り値1万8000ドルといった具合です。市場価格がほぼ確定している場合（約15,000ドル）、狭いスプレッド（買い14,500ドル、売り15,500ドル）を提示することになります。マーケットメーカーもまったく同じことを行っています。彼らは中古車ではなく、確率契約を「販売」しているだけだ。

マーケットメーカーのスプレッドメカニズム

第4章：『マーケットメーカーの金庫』――いずれ必要になる5つのリスク管理ツール

最初の3章では、スプレッドの価格設定や在庫管理を行うための手法を紹介しました。しかし、マーケットメーカーにとっての根本的なジレンマは依然として解決されていない：

スプレッドから利益を得ることができます（毎日安定した少額の利益）が、テールリスクを負うことになります（時折大きな損失を被る可能性があります）。

討論会の夜、ボラティリティが5倍に急騰し、一夜にして1か月分の利益が吹き飛んだ。選挙の夜、3つの市場が同時に暴落し、ポートフォリオは40％の損失を被った。確率が突然0.60から0.90に跳ね上がり、その結果、NO在庫で巨額の損失が発生します。

従来のオプション市場では、マーケットメーカーはデリバティブを利用してこれらのリスクをヘッジしている。バリアンス・スワップはボラティリティの急上昇をヘッジする。相関スワップは、複数の市場間の連動性をヘッジする。バリアオプションは極端な価格変動をヘッジする。

現在の予測市場には、こうしたツールが欠けている。しかし、本論文では完全な数学的基礎を提示しており、各製品の価格設定式は第2章のロジット空間モデルから直接導き出されている。

これらの製品と以前のフレームワークとの関係はどのようなものですか？非常に単純です。第2章のモデルが3つのリスク要因（σ_b、λ、ρ）を示し、第3章のギリシャ指数がこれらの要因に対するポジションの感応度を示し、第4章のデリバティブを用いて各要因のリスクを正確にヘッジすることができるのです。デリバティブがなければ、リスクがあることは分かっていても、それを排除することはできない。デリバティブを利用すれば、不要なリスクを、それを引き受ける意思のある相手に「売却」することができます。

これこそが、デリバティブが「上級者向けのおもちゃ」ではない理由でもある。これらは、マーケットメーカーが長期的に生き残れるかどうかの鍵となる。ヘッジ手段がない場合、マーケットメーカーはリスク回避のためにスプレッドを広げるしかありません。スプレッドの拡大は流動性の低下を招く。流動性が低いと、市場は成長できない。

デリバティブ → ヘッジ → 狭いスプレッド → 高い流動性 → 巨大な市場。

このような好循環は、1973年にオプション市場で一度だけ見られた。次は予測市場の番だ。

このセクションでは、マーケットメイカーが抱える具体的な課題に対応する5つの製品について紹介します。これらはすべて、予測市場のマーケットメイカーやツールが実行可能な機能です。（ですから、需要があれば、いつか@insidersdotbotが作成してくれるかもしれません。）引き続きご注目ください。これらの製品を自社で開発したい場合は、当社のトレーディングAPIおよびデータAPIも喜んでご提供いたします。

商品1：ベリフィケーション・バリアンス・スワップ ― ボラティリティ保険

それはどのような問題を解決するのでしょうか？あなたは5つの市場でマーケットメーカーを務めており、毎日200ドルのスプレッド収益を安定して得ています。そして討論会の夜が訪れ、ボラティリティが5倍に急上昇し、一夜にして3,000ドルの損失を被ることになる。半月分の利益が飛んでしまった。

スプレッド（安定した少額の利益）を得られる反面、ボラティリティリスク（不安定な大きな損失）を負うことになる。この2つは一致しません。

仕組みはどのようなものですか？あなたと取引相手は、「執行ボラティリティ」について合意する。実際のボラティリティがこの水準を上回った場合、相手方があなたに補償を行い、下回った場合はあなたが相手方に補償を行います。要するに、これはボラティリティ保険のようなものです。

具体例：例えば、選挙の2週間前に、ボラティリティ σ² = 0.04で合意する信念変動スワップを購入するとします。討論会の夜、ボラティリティが0.10まで急上昇し、0.06のペイアウトを受け取り、株式の損失をカバーします。討論がつまらなくて、ボラティリティがわずか0.02なら、0.02の損失が出る――これが保険料だ。

その価格はどのような基準で決まっているのですか？公正な行使価格 = 日次ボラティリティの分散 + ニュースによる急変動の分散。これら2つの項は、第2章のモデルにおけるσ_b（拡散）とλ（ジャンプ）に由来する。

伝統的な市場におけるベンチマーク：VIX指数は、分散スワップのバスケットの価格である[14]。これは、「市場が今後30日間のボラティリティをどの程度と見込んでいるか」を示しています。世界の分散スワップ市場は1兆ドル規模に達している[10]。

今すぐ使えますか？現在、この商品を取り扱っているプラットフォームはありません。ただし、開発者の方であれば、論文の付録に完全な価格算出式が掲載されています。マーケットメーカーであれば、まずは簡略化した手法から始めることができます。つまり、ボラティリティが高い時期には在庫を減らし、低い時期には在庫を増やすことで、実質的に手動で分散スワップを行うのです。

ベリフィケーション・バリアンス・スワップ

商品2：p(1-p)カーブ ― 市場の「恐怖指数」を予測する

どのような問題を解決するのか？「現在の市場がどれほど緊張しているか」を知りたいのでしょうが、それを示す標準的な指標は存在しません。

それはどのように実現されるのでしょうか？第3章で学んだ「デルタ = p(1-p)」を覚えていますか？この式は単にギリシャ文字に関するものだけではなく、「不確実性の温度計」でもある。

p = 0.50 の場合、p(1-p) = 0.25 となり、不確実性が最大となる。p = 0.90 の場合、p(1-p) = 0.09 となり、不確実性は約 3 分の 1 に減少する。

p = 0.99 の場合、p(1-p) = 0.0099 となり、不確実性はほとんどない。

なぜこれが役立つのでしょうか？ある契約の価格が0.50ドルから0.60ドルに上昇し、p(1-p)が0.25から0.24に低下した場合、不確実性はほとんど変化せず、スプレッドを調整する必要はない。しかし、価格が0.80ドルから0.90ドルに上昇し、p(1-p)が0.16から0.09に低下すれば――不確実性はほぼ半分に減るため、スプレッドを狭めて流動性報酬を増やすことができます。たとえ0.10ドルという同じ額だけ上昇したとしても、マーケットメイキングの戦略は全く異なるものであるべきだ。

伝統的な市場におけるベンチマーク：p(1-p)はVIX指数とも類似点がある[14]。VIXは「市場がどれほど不安を感じているか」を示します。p(1-p)は「市場がどれほど不確実であるか」を示します。

発売中！5つの製品のうち、p(1-p)曲線だけが、今日すぐに活用できるものです。たった1行のコード：不確実性 = p * (1 - p)。これをマーケットメイキング戦略に取り入れることで、不確実性に応じてスプレッドを動的に調整できるようになります。

VIXカーブ

商品3：相関スワップ ― 選挙夜の地震保険

どのような問題を解決するのか？

あなたは以下の3つの市場でマーケットメイキングを行っています：「トランプ氏がペンシルベニア州で勝利」（株式5,000ドル分）、「トランプ氏がミシガン州で勝利」（株式5,000ドル分）、「共和党が上院で過半数を獲得」（株式3,000ドル分）。もしこれら3つの市場が互いに独立しているなら、1つが損失を出しても、残りの2つは利益を上げることができるかもしれない。しかし実際には、これら3つの市場は密接に関連しており、あるニュースが報じられると、3つの市場すべてが同時に暴落する。5,000ドルを失うだけではありません。13,000ドルを失う可能性もあります。

それはどのように実現されるのでしょうか？あなたと相手方は、「執行相関」について合意する。実際の相関がこの水準を上回った場合、配当を受け取ることができます。2008年の金融危機の際、あらゆる資産間の相関関係が突如としてほぼ1にまで急上昇した。相関スワップを保有していた投資家は巨額の利益を得た一方で、保有していなかった投資家は全財産を失った。

その価格はどのような基準で決まっているのですか？第2章のモデルには「共通ジャンプ」パラメータがあり、同じニュースによって複数の市場が同時にジャンプする。相関スワップの価格設定は、このパラメータに直接依存する。「共通ジャンプの強度」を推定するモデルがなければ、この保険の保険料を設定することはできません。

今、何ができるでしょうか？現在、正式な相関スワップ商品は存在しません。ただし、簡単な方法で近似することは可能です。相関性の高い市場間で逆のポジションを取るのです。例えば、「トランプがペンシルベニア州で勝利する」というYES株を保有している場合、「トランプがミシガン州で勝利する」というYES株も保有しているなら、一方の市場での保有量を積極的に減らすことで、相関リスクを低減することができます。数学的には、このモデルは完璧とは言えないが、ヘッジを行わない場合よりははるかに優れている。

関連性のリスク

商品4：回廊変動 - 「変動域」のための精密保険

それはどのような問題を解決するのでしょうか？確率範囲全体をカバーするバリアンス・スワップを購入しましたが、確率が0.90を超えるとボラティリティが非常に低くなることに気づき、リスクの低い範囲に対して保険料を支払っていることに気づきました。本当に守らなければならないのは、0.35から0.65までの「スイング・リージョン」です。この領域では注文フローが最も活発で、情報の過剰供給が最も激しく、情報を持つトレーダーによるフロントランニングの影響を最も受けやすいからです。

それはどのように実現されるのでしょうか？コリドー・バリアンスは、確率が特定の範囲内にある場合にのみ、バリアンスを累積します。「穏やかな海域」の料金を支払わずに、「波の激しい海域」の保険のみを購入することができます。

価格はどのような基準で決まっているのですか？回廊の分散を算出するには、さまざまな確率範囲における局所的な変動率に関する知識が必要である。これは第5章の信頼区間曲線から直接導かれるものです。この曲線は、「p = 0.50 付近の変動幅はどれくらいか、p = 0.90 付近の変動幅はどれくらいか」を示しています。この曲線なしでは、コリドー・バリアンスの価格を算出することはできません。

実際の事例：あなたはマーケットメーカーであり、主に「スイングゾーン」（0.40～0.60）で活動しています。この範囲のみを対象とする回廊変動契約を購入します。この範囲内で確率が急激に変動した場合、配当が支払われます。確率が0.85を超える「安全圏」に達すると、コリドー・バリアンスの累積は停止します。つまり、その範囲については保険料を支払う必要がありません。保険料は安く、補償内容はより的確に。

廊下の偏差

商品5：ファースト・タッチ・ノート ― 極端な価格変動に対するストップロス保険

それはどのような問題を解決するのでしょうか？あなたはマーケットメーカーであり、「トランプ勝利」の価格は現在0.60ドルです。在庫がゼロの商品があります。もし確率が突然0.90まで急上昇すれば、NO在庫は巨額の損失を被ることになります。ストップロス注文を出すこともできますが、予測市場では、ストップロス注文が「踏み抜かれる」ことがよくあります（価格がストップロス価格に一瞬触れた後、反落して強制的に手仕舞いさせられ、その後価格が元の水準に戻るのを見守る羽目になるのです）。

それはどのように実現されるのでしょうか？「選挙日までにその確率が0.80を突破したら、私に1ドル払ってください。」これは極端な価格変動に対するストップロス保険です。手動でストップロスを設定する必要はなく、金融契約を用いて正確にヘッジを行います。

価格設定の根拠は何ですか？ファーストタッチ・ノートの価格を算出するには、「特定の水準に達する」という確率経路を把握しておく必要があります。これは典型的な「初回通過時間」の問題であり、第2章で扱ったパラメータ σ_b と λ を直接用いています。ジャンプの頻度が高くなるほど（λが大きくなるほど）、極端な水準に達する確率が高くなり、その結果、その銘柄のコストが高くなります。

ファースト・タッチ・ノート

相互に連携する5つの主要製品

このセクションで言及されている5つの製品は、単独のものではありません。これらは、マーケットメーカーのリスク管理に必要なあらゆるツールを網羅しています：

・バリアンス・スワップは、全体的なボラティリティ・リスクをヘッジする。

・コリドー・バリアンスは、特定の範囲内でリスクを正確にヘッジします。

・相関スワップは、複数の市場間の連動リスクをヘッジする。

・ファースト・タッチ・ノートは、極端な価格変動リスクをヘッジします。

p(1-p)曲線は、すべての人に「不確実性」という共通の言語を与えてくれる。

そして、これらすべての商品の価格決定は、結局のところ第2章のロジット空間ジャンプ拡散モデルに帰着する。σ_bはバリアンス・スワップとコリドー・バリアンスの価格を決定し、λはファースト・タッチ・ノートの価格を決定する。相関スワップの価格算定は、共通ジャンプパラメータに基づいています。

だからこそ、本論文は単なる「モデル」ではなく、市場インフラ全体の出発点となるものである。

デリバティブ層の概要

このセクションで言及されているこれらの商品（p(1-p)を除く）は、現時点ではどの予測市場プラットフォームでも利用できません。最も身近な入り口となるのは、PolymarketのCLOB API [15] です。ここでは、論文で提唱されたグリーク値を用いて在庫を管理し、自動マーケットメイキング戦略を構築することができます。もちろん、@insidersdotbotがAPIを公開した際には、皆様からいつでもご連絡いただければ幸いです。

いつも言っているように、Polymarketの発展は長い道のりであり、それを築き上げるには皆が協力し合う必要があります。

開発者の方には、本論文の付録に完全な価格算出式が掲載されています。

マーケットメーカーであれば、p(1-p)とσ_bを用いて既存のスプレッド戦略を最適化することから始めることができます。これは、デリバティブ市場が確立されるのを待つことなく、簡単なスクリプトを使ってすぐに実行可能です。

第5章：データのキャリブレーション - ノイズの多いデータから信号を抽出する

理論モデルがどれほど洗練されていても、実データからパラメータを推定できなければ、何の価値もない。

原論文では、キャリブレーション・パイプラインについて多くの紙幅を割いて論じており[1]、これが純粋な理論論文との最大の違いでもある――つまり、実用的で信頼性が高く、実践可能な最終的な結論が導き出されている点である。

「キャリブレーション」とは何ですか？

温度計を買ったと想像してみてください。目盛りが印刷されていますが、それが正確かどうかはどうやって判断すればいいのでしょうか？氷水（0℃）と沸騰したお湯（100℃）に入れてから、調整する必要があります。このプロセスは校正です。

私たちのモデルも同様です。これまでの章では、美しい数学的枠組みを定義してきましたが、これを具体的に実装するには、その枠組みの中に、実際のデータから抽出する必要があるいくつかの重要なパラメータが存在します：

σ_b:信念の変動性。1日あたり、その確率はどの程度「自然に変動」するのでしょうか？

λ:ジャンプの強度。予期せぬニュースはどれくらいの頻度で起こるのでしょうか？

ジャンプサイズの分布：1回のジャンプはどれくらいですか？

η:微細構造ノイズ。市場価格にはどれほどの「誤ったシグナル」が含まれているのだろうか？

これらのパラメータは恣意的なものではありません。それらは実際の市場データから抽出されなければならない。キャリブレーションは、モデルを「理論的には正しい」状態から「実用的な」状態へと変えるための重要なステップである。

問題点：表示されている価格は、実際の確率ではありません

Polymarketを開くと、「トランプ氏の当選」の最新の取引価格が0.52ドルであることがわかります。

この0.52ドルは「市場の真の予想」なのでしょうか？いいえ。そこには主に3種類のノイズが混じっています：

ノイズの広がり：表示されている「直近の約定価格」は、単に誰かが注文板で成行注文を出しただけかもしれません。買い気配が0.51ドル、売り気配が0.53ドルの場合、「真の相場」は0.52ドル前後になるかもしれない。しかし、直近の取引価格は0.51ドルか0.53ドルになる可能性があります。

流動性不足に関する憶測：500ドルの成行注文で、価格が3%変動する可能性があります。これは「市場心理の変化」ではなく、「注文の薄さ」に他なりません。

微細構造ノイズ：高頻度取引、マーケットメーカーの気配値更新、ネットワークの遅延――これらすべてが、本来のシグナルにノイズを乗せてしまう。

観測データに基づくモデリングに関する論文：観測されたロジット = 真のロジット + 微構造ノイズ。あなたの課題は、ノイズの混じったデータから本来の信号を復元することです。

ステップ1：カルマンフィルタリング ― ノイズからの信号復元

カルマンフィルタは、信号処理における代表的な手法である[13]。これは当初、アポロ月着陸船計画のために開発されたもので、ノイズの多いレーダー信号から宇宙船の真の位置を追跡することを目的としていた。

核心となる考え：あなたには、信頼性に欠ける情報源が2つあります。カルマンフィルタは、この2つの間の最適なバランスを見出す。

情報源1：モデル予測。あなたのジャンプ・ディフュージョン・モデルは、「昨日の確率とパラメータに基づくと、今日の確率はおよそXになるはずだ」と示しています。しかし、このモデルには不備がある。今日ニュースがあるかどうかは分からないのだ。

情報源2：実際の観測。市場での直近の取引価格は「現在の価格はYだ」と示していますが、その観測は不完全であり、ノイズが含まれています。

カルマンフィルターの手法：

市場の流動性が高い（スプレッドが狭く、注文簿が厚い）→ 観測ノイズが少ない → 観測結果をより信頼できる。

市場の流動性が低い（スプレッドが広く、注文簿が薄い）→ 観測ノイズが大きい → モデルの予測をより重視する。

この「信頼の配分」は自動的に行われ、最適なものです。パラメータを手動で調整する必要はありません。

これは、まるで車を運転している時のようです。GPSは「あなたはA道路を走っています」（観測）と教えてくれますが、スピードメーターやハンドルの感覚からは「B道路を走っているはずだ」（モデルの予測）と感じられるのです。電波の状態が良いときはGPSを、電波の状態が悪いとき（トンネル内など）はスピードメーターを頼りにしてください。カルマンフィルタは、この「信頼の自動切り替え」を行うシステムです。

カルマン・フィルター

ステップ2：EMアルゴリズム - 「日々のボラティリティ」と「ニュースの影響」の区別

真のシグナルを復元した後、次の疑問は、どの価格変動が「通常のボラティリティ」（拡散）であり、どの変動が「ニュースの影響」（ジャンプ）なのか、ということである。

なぜそれらを分けるのですか？なぜなら、これら2つの動きの性質はまったく異なるからです。拡散は継続的かつ予測可能であり、今日のボラティリティが2％であれば、明日も同様に2％前後になる可能性が高い。値動きは突発的で予測不能だ――ある瞬間は平穏そのものだが、次の瞬間には10ポイントも値が跳ね上がる可能性がある。

これら2種類の値動きをまとめて推定すると、日次ボラティリティを過大評価することになり（急騰分が含まれるため）、その結果、スプレッドが過度に広がり、利益が出なくなる。

EMアルゴリズムはどのように区別するのでしょうか？

目の前にボールの山があると想像してください。中には赤いボール（ジャンプ）もあれば、青いボール（拡散）もありますが、照明が暗くて、色がはっきり見えません。

Eステップ：それぞれのボールについて、その大きさから、赤か青である確率を推測してください。大きいボールほど赤である可能性が高い（ジャンプは通常、大きいからだ）。

Mステップ：推測に基づいて、「赤いボールの平均サイズ」（ジャンプパラメータ）と「青いボールの平均サイズ」（拡散パラメータ）をそれぞれ計算してください。

次に、次のように繰り返します：新しいパラメータで色を再推定 → 新しい色でパラメータを再計算 → 収束するまで繰り返す。

主な制約：Mステップを実行するたびに、リスク中立ドリフトを再計算し、確率が依然としてマルチンゲールであることを確認する。これがフレームワーク全体の「基盤」である。拡散とジャンプをどのように区別しようとも、マルチンゲール性は破られることがない。

EMアルゴリズムは、録音された音声を聴くようなものです。この録音には、BGM（拡散音）と時折聞こえる花火の音（ジャンプ音）の2種類の音が含まれています。「BGM」の音量と「花火」の音量を、それぞれ別々に測定したいのです。分離しない場合、総音量を直接測定すると「平均音量」が得られますが、これはBGMには大きすぎ、花火の音には小さすぎます。EMアルゴリズムのアプローチは、まずどの瞬間が花火で、どの瞬間がBGMであるかを推測し、その後、それらを別々に測定するというものです。何度か繰り返せば、2つの音を正確に区別できるようになります。

EMアルゴリズム

ステップ3：信念の変動性マップを作成する

拡散とジャンプを分離した後、信念ボラティリティ・サーフェスを構築することができます。

従来のオプション市場において、インプライド・ボラティリティは固定された数値ではありません。それは2つの要素によって決まります：

・まず、満期までの期間（期間が長くなるほど不確実性が高まる）

・第二に、現在の価格水準（価格帯によってボラティリティは異なる）

これら2つの次元を1つの曲面として表したものが、ボラティリティ・サーフェスである[12]。

毎朝、マーケットメーカーの最初の仕事はボラティリティ・サーフェスを確認することです。これは「市場が将来のボラティリティをどのように予想しているか」を示すものです。

これで、予測マーケットメーカーも独自のインターフェースを持つことができるようになりました。

この表面から何が読み取れるでしょうか？

・ある時点（例えば、討論会の前日など）で曲線が急勾配になった場合、それは市場がその時点で大きな値動きを予想していることを意味します。マーケットメーカーは、あらかじめスプレッドを広げるべきである。

・p = 0.50付近の表面がp = 0.80付近に比べて著しく高い場合、それは「変動領域」のボラティリティが「確実性領域」よりもはるかに高いことを意味する。確実性ゾーンでは、より狭いスプレッドを提示することで、より多くの流動性報酬を獲得できます。

・2つの市場のボラティリティ・サーフェスが似たような形状をしている場合、それらは同じ要因によって左右されている可能性がある。相関リスクに注意を払う必要があります。

平たく言えば、ボラティリティ・サーフェスは天気予報の「ヒートマップ」のようなものです。横軸は将来の日付、縦軸は各地域、色は気温を表しています。「来週の水曜日、華北地方は特に暑くなる」ということが一目でわかります。信念ボラティリティ・サーフェスは、予測市場の「ボラティリティ・ヒートマップ」である。横軸は決済までの時間、縦軸は確率分布、色はボラティリティを表しています。「討論会の前日がボラティリティが最も高くなる確率は50％近くある」ということが一目でわかります。

信念の変動性マップ

第6章：実験 ― このフレームワークは本当に効果的か？

これまでの5章で、包括的な枠組みを確立しました。この章では、ある重要な問いに答えたいと思います：本当に既存の方法よりも優れているのでしょうか？

どのように評価すればよいでしょうか？

本論文では、2つの主要な指標を用いた[1]：

・平均二乗誤差：各時点における予測値と実測値の差の二乗を計算し、その平均を算出します。二乗化は、大きな偏差に対して著しく厳しいペナルティを課す。つまり、偏差が0.10の場合のペナルティは、偏差が0.01の場合の100倍になる。この指標は、次の疑問に答えるものです：そのモデルは、時折重大な誤りを犯すことがありますか？

・平均絶対誤差：偏差の絶対値を取り、それを平均します。もっと簡単に言うと：その都度の平均偏差はどれくらいですか？

理想的なモデルは、両方の指標において低い値を示すべきです。つまり、時折重大な誤りを犯すこともなければ、常に些細な誤りを犯すこともないべきです。

もう一つ重要な点があります：このモデルは、それぞれの時点までのデータしか利用できず、未来を予測することはできません。

4人の対戦相手

前述のフレームワークの有効性を実証するため、原論文のモデルを既存の4つのマーケットメイキング手法と比較した。

・ランダムウォーク：ボラティリティが一定であると仮定する。荒れた夜であれ、穏やかな時期であれ、変動性は変わらない。これは、天気予報士が毎日「明日は25℃になるでしょう」と言うようなものだ。春ならたまに当たることもあるが、冬や夏には大きく外れてしまう。最もシンプルな基準。

・定常ボラティリティ拡散：ランダムウォークに似ているが、ボラティリティはデータから推定される――「最適定数」である。これは、気象予報士が「毎日、年間の平均気温を報告する」ように切り替えたようなもので、平均的な誤差は減るものの、極端な気象状況は見逃されたままになってしまう。

・ライト・フィッシャー/ヤコビ・モデル：ロジット変換を行わずに、確率空間（0から1の間）で直接モデルを構築する。そのほうが「自然」に聞こえます。確率とは本来0から1の間にあるものなので、なぜ変換する必要があるのでしょうか？しかし、これには落とし穴がある。確率が0または1に近い場合、確率空間におけるわずかな誤差も、ロジット空間に写像されると指数関数的に増幅される。

・GARCH：伝統的な金融分野で最も一般的に用いられているボラティリティ・モデル。その核心となる考え方は、「大きな変動の後は、また大きな変動が続く」というものです。株式市場では非常にうまく機能します。しかし、予測市場においては、2つの重大な問題を抱えている。すなわち、日々のボラティリティとニュースによる急変動を区別しておらず、またマルチンゲール制約が欠けているという点である。

結果：完全制圧

我々が開発したマーケットメイキング・モデルは、平均二乗誤差および平均絶対誤差の両指標において優れた性能を発揮する[1]。

ロジット空間における平均二乗誤差の観点から見ると、本論文で用いたモデルは、最良の競合モデル（定常ボラティリティ拡散モデル）を1桁以上上回る性能を示している。その性能は、ライト・フィッシャーモデルやGARCHモデルを15～17桁上回っている。

「少し良くなった」というだけではない。「比べものにならない」

モデル比較

なぜこれほど大きな格差があるのか？

マルチンゲール制約は、システマティックなバイアスを排除する。他のモデルにはこの制約がないため、「確率は上昇傾向にあるべきだ」あるいは「下降傾向にあるべきだ」といった仮定が含まれている可能性がある。本論文で説明されているモデルのマルチンゲール制約は、公平な競争条件を保証する。

ジャンプと拡散の分離。相場が落ち着いている時期のボラティリティは、ニュースによる急変動の影響を受けない。この点において、GARCHモデルは不十分である。同モデルは、大きなボラティリティの変動が起こった後には、さらに大きな変動が続くものと想定しているが、実際には、急激な変動の後、すぐに平穏な状態に戻ることもある。

GARCH 対 RN-JD

カレンダーの把握。このモデルは、「来週の討論会」や「来月の選挙日」といった出来事を認識しています。これらの既知のニュース配信時間帯を中心に、ジャンプ強度の予測を自動的に強化します。他のモデルはこの公開情報を完全に無視している。

最も重要な指摘事項：確率空間におけるモデリングは行き止まりである

この実験で最も衝撃的だった発見は：確率空間で直接モデル化を行うと、壊滅的な失敗を招く。

ライト・フィッシャーモデルとGARCHモデルをロジット空間に写像したところ、平均二乗誤差が15～19桁も増加した。

これらのモデルを用いてスプレッドの価格設定を行っているマーケットメーカーの場合、極端な確率の周辺では、そのスプレッドは完全に誤ったものになってしまいます。10％の誤差ではなく、10の17乗の誤差だ。アービトラージ業者たちは、あっという間にあなたを食い物にするだろう。

確率空間モデリングは行き止まりである

この発見は、ある重要な気づきをもたらした：予測市場の定量的なモデリングは、ロジット空間で行う必要がある。現在、確率空間で直接モデル化を行う手法（単純移動平均や線形回帰など）を使用している場合は、分析の前にまずロジット変換を行ってください。たった1行のコード（x = log(p/(1-p))）ですが、致命的なエラーを防ぐことができます。

エピローグ：ゼロからのマーケットメーカー生活

6章を読み終えた。1973年のBS式から、ロジット変換、ギリシャ文字と在庫管理、デリバティブ、キャリブレーション、そして実験的検証に至るまで。

さて、問題は次の通りです：次は？

個人投資家であれば、モデル全体を実装する必要はありません。しかし、すぐに活用すべき点が2つあります：

・まず、p(1-p) を用いてポジションのリスクを評価します。0.50ドルの契約を保有している場合、p(1-p) = 0.25 となるため、そのポジションはニュースの影響を強く受けます。0.90ドルの契約を保有している場合、p(1-p) = 0.09となり、感応度は約3分の1になります。同じ1,000ドルのポジションでも、リスクは全く異なります。

・第二に、「ボラティリティはトレンドの方向性よりも重要である」ということを忘れないでください。契約価格が0.50ドル前後で激しく変動しているのを見かけた場合、それは単なる「市場の不確実性」ではなく、「確信度の高いボラティリティ」、つまり高いリスクを意味します。この違いを理解することは、「トランプが勝つかどうか」を予測することよりも有益だ。

マーケットメーカーの皆様へ――本資料では、包括的なアップグレードの道筋をご案内します：

・今日からできること：分析を確率空間からロジット空間へ移行させる（x = log(p/(1-p))、1行のコード）。p(1-p) を使用してスプレッドを動的に調整する。予定されているニュースイベント（討論会、選挙日など）の前に、積極的にスプレッドを広げる。

・プログラミングが必要：ノイズ除去のためのカルマンフィルタリングと、ジャンプ分離のためのEMアルゴリズムを実装する。Pythonのfilterpyライブラリを直接使用できます。本論文の付録に、式がすべて掲載されています。

・長期目標：ロジット空間におけるアベジャネダ・ストイコフのモデルを用いて、在庫管理を自動化するための完全な信念ボラティリティ・サーフェスを構築する。

Polymarketの流動性インセンティブ・メカニズムは、流動性プロバイダーに対してスプレッドの縮小という形で報酬を提供します [15][16]。この価格設定モデルを利用すれば、リスクを増やすことなくより狭いスプレッドを提示でき、より多くの利益を得ることができます。

プラットフォームやインフラの開発者にとって、デリバティブ層は次の大きなチャンスとなります。信念分散スワップ、相関スワップ、裏付け分散――こうした商品は、従来の市場で数兆ドル規模で取引されている。予測市場向けのバージョンはまだ存在しません。

最も現実的な入り口：まずは、「予測市場VIX」――リアルタイムのp(1-p)加重不確実性指数――を構築することから始めましょう。これには新しい契約タイプは必要なく、データ製品だけで十分です。その後、これを基に、徐々に分散スワップや相関スワップを導入していく。

1973年、ブラック・ショールズはオプションを単なるギャンブルから金融工学へと変えた。

2025年までに、予測市場でも同様のことが起きている。

この論文は公開されています [1]。フレームワークが完成しました。これらのツールは実用可能です。問題は次の通りです：準備はいいですか？

付録：コンセプトのクイックリファレンス

・ブラック・ショールズ・モデル → 1973年に提唱されたオプション価格算定式。「ドリフトは重要ではなく、ボラティリティこそが重要である」という核心的な洞察に基づいている。すべての人に共通の言語（インプライド・ボラティリティ）を与え、デリバティブ市場全体を生み出した [2]

・ロジット変換 → x = log(p/(1-p))。これにより、0から1の範囲にある確率が実数直線全体に写像される。境界のない空間において、従来の数学的ツールを用いることを可能にする [1]

・信念のボラティリティ σ_b → 予測市場の「インプライド・ボラティリティ」。重要なニュースがない際の、日々の変動幅の大きさを測定します。マーケットメーカーの価格スプレッド設定における主要な入力要素 [1]

・ジャンプ・コンポーネント → 突発的なニュースによって引き起こされる確率の不連続性。拡散（日次ボラティリティ）とは異なり、ジャンプは瞬時かつ不連続である [1]

・Yi → 確率の最良推定値は現在の値である。新しい情報がない場合、確率は体系的に変化すべきではない

・ギリシャ値 → ポジションが様々なリスク要因に対してどれほど敏感であるかを測る指標。デルタ=方向、ガンマ=コンベクシティ、ベガ=ボラティリティ感応度 [11]

・p(1-p) → 市場を予測するための「普遍的な要素」。これは不確実性の指標であるデルタであると同時に、バリアンス・スワップの価格決定における中核をなすものである

・信念変動スワップ → 「信念の変動幅がどの程度になるか」を予想する契約。マーケットメーカーがボラティリティ・リスクをヘッジするために利用される [1]

・相関スワップ → 複数の相関する市場で同時に発生するボラティリティのリスクに対するヘッジ。選挙の夜に欠かせないツール [1]

・コリドー分散 → 確率が特定の範囲内にある場合にのみ累積される分散。「スイングエリア」のリスクに対するヘッジ [1]

・ファーストタッチ・ノート → 満期前に確率が一定の水準に達した場合に配当が支払われます。極端な価格帯の保険 [1]

・カルマンフィルタ → ノイズの混じった観測データから真の信号を復元するためのアルゴリズム。モデル予測と実観測値の最適な重み付け [13]

・EMアルゴリズム → 拡散（日々のボラティリティ）とジャンプ（ニュースの影響）を分離するために用いられる期待値最大化アルゴリズム。

・アベジャネダ・ストイコフ・モデル → 市場形成者の在庫管理に関する古典的なモデル。在庫が増えると → 価格の歪みが生じやすくなる；ボラティリティが高まると → スプレッドが広がる [6]

・信念のボラティリティ曲面 → ボラティリティが時間と確率的位置に応じて変化する二次元曲面。マーケットメーカー向けの主要ツール [1]

参考文献：

[1] 原論文「予測市場のためのブラック・ショールズ・モデルに向けて」：https://arxiv.org/abs/2510.15205

[2] ブラック・ショールズ原論文（1973年）：フィッシャー・ブラック＆マイロン・ショールズ「オプションと企業負債の価格決定」、『Journal of Political Economy』

[3] ゴールドマン・サックス：ブラック・ショールズの歴史：https://www.goldmansachs.com/our-firm/history/moments/1973-black-scholes

[4] ブラック・ショールズ・モデルの解説 - Investopedia: https://www.investopedia.com/terms/b/blackscholes.asp

[5] ロジット関数とシグモイド関数：https://nathanbrixius.wordpress.com/2016/06/04/functions-i-have-known-logit-and-sigmoid/

[6] アベジャネダ・ストイコフのマーケットメイキング戦略ガイド：https://hummingbot.org/blog/guide-to-the-avellaneda–stoikov-strategy/

[7] ICEがPolymarketに20億ドルを出資：https://ir.theice.com/press/news-details/2025/ICE-Announces-Strategic-Investment-in-Polymarket/

[8] Polymarket 2025年の取引高データ（Dune）：年間取引高2,200億ドル

[9] 予測市場業界の成長：月間取引高が130億ドルを突破：https://internationalbanker.com/finance/accounting-for-the-explosive-growth-in-prediction-markets/

[10] バリアンス・スワップの解説 - Investopedia: https://www.investopedia.com/terms/v/varianceswap.asp

[11] ギリシャ指標の解説 - Investopedia: https://www.investopedia.com/terms/g/greeks.asp

[12] インプライド・ボラティリティ - Investopedia: https://www.investopedia.com/terms/i/iv.asp

[13] 図解カルマンフィルタ：https://www.bzarg.com/p/how-a-kalman-filter-works-in-pictures/

[14] CBOE VIX指数：https://www.cboe.com/tradable_products/vix/

[15] Polymarket CLOB ドキュメント: https://docs.polymarket.com/

[16] Polymarket 流動性報酬：https://docs.polymarket.com/market-makers/liquidity-rewards

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