L'IA vient de résoudre un problème mathématique vieux de 350 ans en écrivant la plus longue preuve jamais réalisée

Anthropic annonce que son IA Claude vient d'écrire la plus longue preuve mathématique jamais réalisée, et l'a utilisée pour prouver formellement le dernier théorème de Fermat, un problème qui a déconcerté les mathématiciens pendant 358 ans.

Claude a accompli cela en 11 jours, principalement de manière autonome, produisant 13 millions de lignes de code qu'un ordinateur peut vérifier ligne par ligne, au lieu de simplement se fier à la parole d'un mathématicien.

Le dernier théorème de Fermat stipule qu'il est impossible de prendre trois nombres entiers positifs, d'élever chacun à une puissance supérieure à 2, et d'obtenir que les deux premiers s'additionnent pour donner le troisième. Il a griffonné cette affirmation dans la marge d'un livre de mathématiques en 1637, ajoutant qu'il avait une "preuve vraiment merveilleuse" que la marge était trop petite pour l'accueillir.

Puis il est mort. Les mathématiciens ont passé les 358 années suivantes à essayer de reconstruire ce qu'il pensait avoir.

Prouver quelque chose et le vérifier sont deux tâches différentes

Une preuve mathématique est une chaîne d'étapes logiques, et si un maillon est brisé, l'ensemble s'effondre. Trouver ce maillon brisé, enfoui quelque part dans une centaine de pages d'arguments denses, peut prendre des années à d'autres mathématiciens.

Formaliser une preuve signifie la traduire dans un langage si douloureusement littéral qu'un ordinateur peut vérifier chaque étape par lui-même sans entrer dans des subjectivités.

Les mathématiciens ont été mauvais pour surveiller cela pendant un certain temps. Un prix allemand de 1908 d'une valeur d'environ 1 à 2 millions de dollars d'aujourd'hui, offert pour la première preuve valide du théorème, a reçu 621 soumissions erronées rien que lors de sa première année.

La vraie preuve n'est apparue qu'en 1995, de la part du mathématicien britannique Andrew Wiles, et elle est arrivée avec un rebondissement. Wiles a annoncé sa solution lors de trois conférences en juin 1993, seulement pour qu'un examinateur trouve une faille par la suite.

Il a passé presque un an à la corriger avec un ancien étudiant, Richard Taylor, a failli abandonner, et a finalement publié une preuve corrigée de 129 pages en mai 1995. Elle s'appuyait sur des mathématiques qui n'existaient pas à l'époque de Fermat, ce qui est une des grandes raisons pour lesquelles les mathématiciens doutent maintenant que la "preuve merveilleuse" de Fermat ait réellement fonctionné.

Le mathématicien de l'Imperial College de Londres, Kevin Buzzard, a lancé un projet en 2024 pour faire exactement ce que Claude vient de faire : traduire la preuve de Wiles en Lean, un langage que les ordinateurs peuvent vérifier. C'est le genre de travail qui nécessite une armée de mathématiciens bénévoles---le plan du projet compte 86 pages, et son financement est assuré jusqu'en 2029.

Claude a terminé l'ensemble en 11 jours.

Comment Claude a-t-il réussi cela ?

Anthropic explique dans un post plus détaillé que Tianyi Peng, qui construit des outils de formalisation de l'IA avec une équipe à Columbia, a décidé de voir jusqu'où Claude pouvait aller par lui-même. Des dizaines d'agents Claude ont travaillé en parallèle, écrivant des définitions, prouvant de petits résultats, et les empilant en plus grands, avec presque aucune intervention humaine au-delà de quelques encouragements comme "priorisez ce théorème ensuite".

Cela ne s'est pas bien passé au début. Au début, les agents perdaient constamment de vue ce qu'ils avaient déjà prouvé et cessaient de collaborer, et ces faux départs représentent encore environ 7 % des lignes dans la preuve finale.

Ce qui a corrigé cela était un outil appelé Prove2Me, également construit par l'équipe de Peng, qui a donné à chaque agent la même liste de tâches en direct des petites preuves qui restaient à faire, afin que personne ne duplique le travail ou ne s'égare. Il a également organisé les fichiers pour que Lean puisse tout vérifier plus rapidement, et a tenu des notes en anglais simple sur chaque résultat afin que les agents puissent réutiliser le travail des autres au lieu de le réinventer.

Au moment où c'était terminé, Claude avait prouvé plus de 30 000 théorèmes de soutien et avait consommé des milliards de tokens, fonctionnant sur un modèle de recherche qu'Anthropic dit être à peu près comparable à Claude Fable 5.1, la version qu'il a ensuite publiée au public. La preuve finale compte 13 millions de lignes---plus de cinq fois la taille de Mathlib, la bibliothèque partagée que les mathématiciens utilisent déjà pour ce genre de travail.

Un roman typique compte 80 000 mots. La preuve de Claude équivaut à 160 romans d'arguments logiques purs.

Est-ce que cela a vraiment de l'importance ?

Buzzard---dont la propre version de ce projet reste financée jusqu'en 2029---a examiné la preuve de Claude et lui a donné son approbation, disant qu'elle prouve le théorème "sans autres hypothèses que les axiomes des mathématiques".

Ce n'est pas la même chose que Claude découvrant des mathématiques totalement nouvelles, ce qu'Anthropic a également affirmé avec sa recherche en cryptographie plus tôt cette année. Wiles a déjà prouvé le théorème de Fermat il y a trois décennies---Claude a juste construit un reçu vérifiable par machine pour cela. Cela a de l'importance car les mathématiciens sont de plus en plus submergés par des preuves non vérifiées, y compris celles écrites par l'IA, plus vite que les humains ne peuvent les vérifier à la main.

De plus, ces types de preuves sont déterministes et ne sont pas sujettes aux erreurs humaines, ce qui est très important en mathématiques.

Ce n'est pas un nouveau problème. Une preuve assistée par ordinateur de la conjecture de Kepler a pris quatre ans avant qu'un panel d'examen ne s'engage à "99 % certain", et la preuve de Grigori Perelman de la conjecture de Poincaré a pris à peu près le même temps pour être pleinement comprise.

Si vous ne voulez pas prendre la parole d'Anthropic pour tout cela, vous n'avez pas à le faire. La preuve complète de 13 millions de lignes est actuellement disponible sur GitHub, gratuite pour tout mathématicien ayant suffisamment de temps libre pour l'examiner, ligne par ligne.

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