KI hat ein 350 Jahre altes Mathematikproblem gelöst, indem sie den längsten Beweis aller Zeiten schrieb

Anthropic berichtet, dass ihre Claude-KI den längsten Mathematikbeweis aller Zeiten verfasst hat und damit Fermats letzten Satz formal bewiesen hat, ein Problem, das Mathematiker 358 Jahre lang beschäftigt hat.

Claude benötigte dafür 11 Tage, größtenteils eigenständig, und produzierte 13 Millionen Codezeilen, die ein Computer zeilenweise überprüfen kann, anstatt sich nur auf das Wort eines Mathematikers zu verlassen.

Fermats letzter Satz besagt, dass man drei positive ganze Zahlen nicht so potenzieren kann, dass die ersten beiden die dritte addieren, wenn jede Zahl auf eine Potenz höher als 2 erhöht wird. Er kritzelte diese Behauptung 1637 in den Rand eines Mathematikbuchs und fügte hinzu, dass er einen "wirklich wunderbaren Beweis" habe, der jedoch zu groß für den Rand sei.

Dann starb er. Mathematiker verbrachten die nächsten 358 Jahre damit, zu rekonstruieren, was er möglicherweise gedacht hatte.

Etwas beweisen und es überprüfen sind zwei verschiedene Aufgaben

Ein mathematischer Beweis ist eine Kette logischer Schritte, und wenn ein Glied bricht, fällt alles zusammen. Das Finden dieses einen gebrochenen Gliedes, irgendwo in hundert Seiten dichter Argumentation, kann andere Mathematiker Jahre ihres Lebens kosten.

Einen Beweis zu formalisieren bedeutet, ihn in eine Sprache zu übersetzen, die so schmerzhaft wörtlich ist, dass ein Computer jeden Schritt eigenständig überprüfen kann, ohne in Subjektivitäten einzutauchen.

Mathematiker waren darin eine Zeit lang schlecht. Ein deutscher Preis von 1908, der heute etwa 1 bis 2 Millionen Dollar wert ist, wurde für den ersten gültigen Beweis des Satzes angeboten und zog allein im ersten Jahr 621 falsche Einreichungen an.

Der echte Beweis tauchte erst 1995 auf, von dem britischen Mathematiker Andrew Wiles, und er kam mit einer Wendung. Wiles kündigte seine Lösung in drei Vorlesungen im Juni 1993 an, nur um später von einem Gutachter ein Loch darin gefunden zu bekommen.

Er verbrachte fast ein Jahr damit, es mit einem ehemaligen Studenten, Richard Taylor, zu reparieren, gab fast auf und veröffentlichte schließlich im Mai 1995 einen korrigierten, 129-seitigen Beweis. Dieser stützte sich auf Mathematik, die zu Fermats Lebzeiten nicht existierte, was ein großer Grund ist, warum Mathematiker heute daran zweifeln, dass Fermats eigener "wunderbarer Beweis" jemals tatsächlich funktionierte.

Der Mathematiker Kevin Buzzard vom Imperial College London startete 2024 ein Projekt, um genau das zu tun, was Claude gerade gemacht hat: Wiles' Beweis in Lean zu übersetzen, eine Sprache, die Computer überprüfen können. Es ist die Art von Arbeit, die eine Armee von freiwilligen Mathematikern benötigt – der eigene Entwurf des Projekts umfasst 86 Seiten, und die Finanzierung ist bis 2029 gesichert.

Claude beendete das Ganze in 11 Tagen.

Wie Claude es tatsächlich geschafft hat

Anthropic erklärt in einem ausführlicheren Beitrag, dass Tianyi Peng, der mit einem Team an der Columbia Universität KI-Formaliserungswerkzeuge entwickelt, sehen wollte, wie weit Claude alleine kommen könnte. Dutzende von Claude-Agenten arbeiteten parallel, schrieben Definitionen, bewiesen kleine Ergebnisse und stapelten diese zu größeren, mit fast keinem menschlichen Input außer gelegentlichen Anstupsern wie "priorisiere diesen Satz als nächstes".

Es lief nicht reibungslos. Zu Beginn verloren die Agenten ständig den Überblick darüber, was sie bereits bewiesen hatten, und hörten auf, zusammenzuarbeiten, und diese falschen Starts machen immer noch etwa 7 % der Zeilen im endgültigen Beweis aus.

Was es behob, war ein Werkzeug namens Prove2Me, das ebenfalls von Pengs Team entwickelt wurde, das jedem Agenten die gleiche Live-To-Do-Liste gab, welche kleineren Beweise noch zu erledigen waren, damit niemand die Arbeit duplizierte oder abschweifte. Es organisierte auch Dateien, sodass Lean alles schneller überprüfen konnte, und hielt einfache englische Notizen zu jedem Ergebnis, damit die Agenten die Arbeiten der anderen wiederverwenden konnten, anstatt sie neu zu erfinden.

Als es fertig war, hatte Claude mehr als 30.000 unterstützende Sätze bewiesen und Milliarden von Tokens verbraucht, basierend auf einem Forschungsmodell, das Anthropic zufolge ungefähr mit Claude Fable 5.1 vergleichbar ist, der Version, die später der Öffentlichkeit zugänglich gemacht wurde. Der fertige Beweis umfasst 13 Millionen Zeilen – mehr als fünfmal so groß wie Mathlib, die gemeinsame Bibliothek, die Mathematiker bereits für diese Art von Arbeit nutzen.

Ein typischer Roman umfasst 80.000 Wörter. Claudes Beweis entspricht 160 Romanen reiner logischer Argumentation.

Hat das also wirklich Bedeutung?

Buzzard – dessen eigene Version dieses Projekts bis 2029 finanziert bleibt – überprüfte Claudes Beweis und gab ihm sein Siegel, indem er sagte, dass er den Satz "ohne Annahmen außer den Axiomen der Mathematik" beweist.

Das ist nicht dasselbe wie Claude, das brandneue Mathematik entdeckt, was Anthropic auch mit seiner Kryptographieforschung Anfang dieses Jahres behauptete. Wiles bewies Fermats Satz bereits vor drei Jahrzehnten – Claude hat nur einen maschinenüberprüfbaren Beleg dafür erstellt. Das ist wichtig, weil Mathematiker zunehmend mit nicht verifizierten Beweisen, einschließlich KI-generierter, überflutet werden, schneller als Menschen sie von Hand überprüfen können.

Außerdem sind diese Arten von Beweisen deterministisch und nicht anfällig für menschliche Fehler, was in der Mathematik sehr wichtig ist.

Das ist kein neues Problem. Ein computerunterstützter Beweis der Kepler-Vermutung dauerte vier Jahre, bevor ein Prüfungsgremium sich nur auf "99 % sicher" festlegen wollte, und Grigori Perelmans Beweis der Poincaré-Vermutung dauerte ebenso lange, um vollständig verstanden zu werden.

Wenn Sie Anthropics Wort für nichts davon nicht glauben wollen, müssen Sie das nicht. Der vollständige 13-Millionen-Zeilen-Beweis befindet sich derzeit auf GitHub, kostenlos für jeden Mathematiker, der genug Freizeit hat, um ihn zeilenweise auseinanderzunehmen.

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